Problème de convergence - Non linéarité géométrique

Lorsque les déplacements subis par la structure ne permettent pas de confondre l'état déformé et l'état initial, on doit considérer les grands déplacements.

Les équations qui régissent l'équilibre de la structure sont alors fonction de la déformation de celle-ci. On doit alors tenir compte de ce que l'on appelle la non-linéarité géométrique.

Lors de calculs non linéaires, il se peut que les calculs ne converge pas. L'article ci-dessous explique certaines raisons d'une non convergence des calculs non linéaires et le moyen d'y remédier.

EMPLOI D'UNE METHODE DE RESOLUTION INAPPROPRIEE

Dans les paramètres de l'analyse modale, il est possible d'utiliser 3 méthodes

01. Méthode des contraintes initiales

Présente l'avantage d'être très rapide mais la convergence est plus difficile à obtenir.

02. La méthode de Newton-Raphson modifiée

Limite le nombre de calcul. Cependant, la convergence n'est obtenue qu'après un nombre élevé d'itérations.

03. La méthode de Newton-Raphson complète

Demande des temps de calcul plus important mais améliore nettement la convergence des calculs.

La méthode "Newton-Raphson complète" est la plus performante. Elle est donc conseillée dès que la structure présente de fortes non-linéarités (modèle avec des éléments câbles par exemple).

Le temps de calcul est très relatif car les ordinateurs d'aujourd'hui autorisent des calculs très rapides.

INSTABILITE NUMERIQUE

Cette cause de non-convergence est très facilement détectable puisqu'on observe une non-convergence brutale. Comme le montre la figure ci-dessous dès le début de la résolution la valeur du ratio tend immédiatement vers l'infini au lieu de converger vers la valeur de tolérance définie.

Elle est dans la plupart des cas due à une mauvaise modélisation (nombre d'appuis insuffisants, mauvaise définition des précontraintes pour les câbles par exemple, etc.).

SURCHARGE DE LA STRUCTURE

La non-convergence d'un calcul non-linéaire peut aussi intervenir lorsque la structure est surchargée. Cette surcharge amène à des instabilités locales de la structure, on rejoint là une analyse de type flambement non-linéaire. Dans ce type d'analyse, on peut augmenter le nombre d'incrément afin de mieux définir le niveau de chargement à partir duquel on atteint le seuil de flambement.

OPTIONS DE RESOLUTION MAL ADAPTEES

Il existe aussi un certain nombre de cas où le calcul non-linéaire tend à converger, cependant les options de calcul définis par l'utilisateur ne permettent pas la convergence. Cela peut être par exemple le cas lorsque la convergence des calculs est lente, alors que le nombre d'itérations maximumes est insuffisant (solution : augmenter le nombre d'itérations).

CONCLUSION

D'une façon générale, comme décrit plus haut, il est possible d'améliorer la convergence des calculs non-linéaires par les modifications suivantes :